条件付き確率の解説(モンティ・ホール問題ほか)

ざっくり言うと

  • 新たな証拠が出てきたら、比例するように最初の確率を見直さなければいけない
  • ギャンブルシーンにおいては、極めて重要な考え方
  • モンティ・ホールの問題、3枚のコインの例題で解説

数日前に書いた『あなたなら、どれに賭ける?(モンティ・ホール問題ほか)』を読んだ方から、解説がないのでよくわからないとお叱りの言葉をいただいたので、きちんと解説を書きました。

わかりやすいので、最初にコインの問題から説明します。

◆コインの問題

<問い>
1枚は表も裏も黒、1枚は表も裏も白、1枚は表が黒で裏が白の3枚のコインから、1枚のコインを取りだし裏面を伏せてテーブルに置いたところ表は黒でした。では、そのコインの裏面が黒である確率は?

<正解>
一見、2分の1と思われがちですが、正解は3分の2です。

<考え方>
条件1:どのコインも選ばれる確率は同じ
条件2:ランダムに選ばれたコインの表が黒だった

最もシンプルに考えると、黒白のコインが選ばれる確率は、3分の1です。つまり、黒が出たときに裏側が白である確率も3分の1になり、残りの3分の2が黒となります。

納得のいかない人のために、別の考え方で、黒黒のコインを引いていた場合、どちらの面が選ばれようと必ず表面は黒になります。ところが、黒白のコインを引いていた場合、表面が黒になる確率は2分の1に減ります。黒黒のコインは、黒白のコインに比べて黒の面が2倍出やすいことから、引いたコインが黒黒である確率と黒白である確率は、2対1の比率になります。つまり、裏側も黒である確率は、3分の2となります。

これでも納得がいかない人のために、更に別の考え方で、3枚のコインがあって、それぞれに表と裏の面があるので面の数は合計6つです。最初に黒を選んだとすると、それは3つある黒の面のどれか1つで、どの面であるかの可能性は同じです。しかし、3つの黒のうち2つは裏も必ず黒(黒黒のコインの裏表なので)なのに対して、1つだけは裏は白(黒白のコインの黒の面なので)です。だから、裏側も黒となる確率は、3分の2となります。

 

◆モンティ・ホールの問題

<問い>
①3つの扉があり、1つは正解(新車)、2つは不正解(ヤギ)。
②挑戦者は3つの中から1つ扉を選ぶ。
③司会者は答えを知っており、残り2つの扉の中で不正解の扉を1つ選んで開ける。
④挑戦者は残り2つの扉の中から好きな方を選べる。

このとき扉を変えるべきか?変えないべきか?

<正解>
扉を変えないと正解確率は1/3に対して、扉を変えると正解確率は2/3に跳ね上がります。つまり、挑戦者は絶対に扉を変えるべきです。

<考え方>
最もシンプルに考えると、このゲームが始まったとき、挑戦者はどこに車があるのか知らないため、車を手に入れる確率は3分の1しかありません。そして、司会者が扉3を開けても、それが挑戦者の最初の選択が正しいかどうかという確率には一切影響を及ぼさず、扉1が正解の確率は最初と同じ3分の1のままです。そこから、扉1に車がある確率は3分の1なので、消去法で扉2に車がある確率は、3分の2となります。

納得のいかない人のために、別の考え方で、仮に挑戦者が最初に扉1を選び、司会者が車のない扉3を開ける場合を考えます。

扉1 ★挑戦者が最初に選ぶ扉
扉2 車
扉3 司会者が開ける扉

まず、扉2の後ろに車があるとすると、挑戦者が扉1を選んだ場合、司会者は扉3を開けざるを得ません。残った扉で車がないのはこれしかないからです。つまり、司会者が扉3を開ける確率は、1分の1となります。


扉1 車 ★挑戦者が最初に選ぶ扉
扉2
扉3 司会者が開ける扉

次に、扉1の後ろに車があるとすると、司会者が開けることができるのは扉2と扉3になり、扉3を開ける確率は半分に減り、2分の1となります。

挑戦者が扉1を選び司会者が扉3を開けた場合、車が扉2にある可能性は、扉1にある可能性の2倍ということになります。つまり、最初に選んだ扉1から扉2に変えれば、車を手に入れる確率は、3分の2とります。

 

◆さいごに

ギャンブルの場で、最初の考えに固執し、やたらと突っ込む人を見かけます。
ポーカーでも、マージャンでも、競馬でも、パチンコでも、その時々の状況に応じた柔軟な対応が求められます。常に冷静で、確率論に従った立ち回りが勝利の秘訣です。
固執し過ぎは破滅の元になるのでご注意を!

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