打つ?1500ゲームはまったジャグラー(ギャンブラーの誤謬)

ざっくり言うと

  • 「ギャンブラーの誤謬」と「平均への回帰」のわかりやすい解説
  • 1500ゲームはまっているからといって、以降の大当たり確率が上がるわけではない
  • 人は少ない試行回数でも無意識に大数の法則を当てはめて未来を予測しようとする

1500ゲームはまっている「アイムジャグラーEX」が捨てられていたら打ちますか?

「アイムジャグラーEX」のボーナス合成確率は1/168.5(設定①)~1/127.5(設定⑥)。
設定①だったとしても理論値の9倍はまりです。
さすがにそろそろ当たるのでは?

打つ打たないの判断のポイントは、「ギャンブラーの誤謬」と「平均への回帰」を正しく理解できているかどうか。

 

◆ギャンブラーの誤謬(ごびゅう)

『ギャンブラーの誤謬(gambler's fallacy)とは、ある事象の発生頻度が特定の期間中に高かった場合に、その後の試行におけるその事象の発生確率が低くなる(あるいは逆に、ある事象の発生頻度が低かった場合に、その事象の発生確率が高くなる)と信じてしまうという誤謬である。』(Wikipediaより)


<わかりやすい例>
コイントスで1回目から10回目まで表が出た。10回続けて表が出ているんだから11回目は裏が出るような気がする。しかしながら、コイントスで表が出る確率も裏が出る確率も2分の1。10回続けて表が出たからといって、11回目に裏が出る確率が上がるわけではありません。


<わかりやすい例>
・バンカーが続けて10回勝ったから、次はさすがにプレイヤーが勝つだろう
・バンカーが続けて10回勝ったから、次もバンカーが勝つだろう

カジノの王様といわれる「バカラ」は、「バンカー」が勝つか「プレイヤー」が勝つかを当てる二者択一の丁半博打です。「バンカー」と「プレイヤー」が勝つ確立はそれぞれ約2分の1とほぼ同じ。引き分け(TIE:タイ)の場合は、賭け金はそのまま返ってきます。
(正確には、ルールで少しだけバンカーが有利になっています。バンカーの勝ち:0.458597、プレイヤーの勝ち:0.446247)

例えば、バンカーが続けて10回勝ったとします。俗にいう10目ヅラ(10目の大ヅラ)です。あなたは、次のゲームでバンカーとプレイヤーのどちらに賭けますか?

初心者は、さすがに11回続けてバンカーはないだろうとプレイヤーに賭ける傾向が強くなり、一方で、バカラを知り尽くしたベテランほどバンカーに賭ける傾向が強くなるのではないでしょうか。バカラでは、大ヅラに乗る(勝ち続けている方に賭ける)のが鉄板の戦術とされています。

しかし、この初心者、ベテランいずれの傾向も、確率的には何の根拠もありません。バカラは、これから起こることが過去の結果に左右されない独立事象のゲームです。過去にどれだけバンカーの勝ちが続いても、次にバンカーが勝つ確率に変わりはありません。

 

◆平均への回帰

『平均への回帰(Regression toward the mean)とは、ある1つの試験結果について偏った成績(特別に良かったもしくは悪かった)の集団を対象として2つ目の試験の結果を見ると、その集団の平均成績は1つ目より2つ目のほうが平均値に近づくという統計学的現象をいう。』(Wikipediaより)

<わかりやすい例>
『生徒たちが中間試験と期末試験を受ける。中間試験で特別に高得点だった生徒たちに注目して調べると、(たぶん期末試験でも得点は高い方だろうが)一般に中間試験のときよりは平均に近い(平均からの偏差がより小さい)結果になる。それは、中間試験で働いた「幸運」(偶然)が、期末試験では必ずしも働かなかったからである。逆に、期末試験で特別に高得点だった生徒たちについて調べても、中間試験での平均からの偏差は期末試験のそれより一般に小さい。』(Wikipediaより)

前述の10回続けて表が出たコイントスのケースで考えると、11回目から新たにカウントを始めるとしたら、以降の結果は理論値(表と裏が2分の1ずつ)に近づくと考えられます。つまり、累積のコイントスの結果は、表の合計回数が裏よりも10回多いという点を中心として均等に分布することになります。

 

◆さいごに

人がギャンブラーの誤謬に陥る原因は、人は少ない試行回数でも無意識に大数の法則を当てはめて未来を予測しようとする傾向があるからです。

言わずもがなですが、1500ゲーム程度のはまりでは、大数の法則は有効に機能しませんのでご注意を。